Обратное утверждение для признака делимости на 2:
Если число $a = \overline{a_n...a_2a_1a_0}$ делится на 2, то его последняя цифра делится на 2.
$a = \overline{a_n...a_2a_1a_0} = a_n * 10^n + ... + a_2 * 10^2 + a_1 * 10 + a_0 = a_n * 10...0 + ... + a_2 * 100 + a_1 * 10 + a_0 = a_n * (10^{n - 1} * 10) + ... + a_2 * (10 * 10) + a_1 * 10 + a_0 = 10 * (10^{n - 1} * a_n + ... + 10 * a_2 + a_1) + a_0$ − первое слагаемое делится на 2, так как 10 = 2 * 5 и сумма, равная числу a по условию делится на 2, значит и второе слагаемое $a_0$ − делится на 2, так как сумма четных чисел число четное.
Утверждение доказано.
 
Обратное утверждение для признака делимости на 3:
Если число $a = \overline{a_n...a_2a_1a_0}$ делится на 3, то сумма его цифр делится на 3.
$a = \overline{a_n...a_2a_1a_0} = a_n * 10^n + ... + a_2 * 10^2 + a_1 * 10 + a_0 = a_n * 10...0 + ... + a_2 * 100 + a_1 * 10 + a_0 = a_n * (99...9 + 1) + ... + a_2 * (99 + 1) + a_1 * (9 + 1) + a_0 = 99...9 * a_n + a_n + ... + 99 * a_2 + a_2 + 9 * a_1 + a_1 + a_0 = 3 * (33...3 * a_n + ... + 33 * a_2 + 3 * a_1) + (a_n + ... + a_2 + a_1 + a_0)$ − так как первое слагаемое делится на 3 и сумма, равная числу a по условию делится на 3, то и второе слагаемое делится на 3.
Утверждение доказано.
 
Обратное утверждение для признака делимости на 9:
Если число $a = \overline{a_n...a_2a_1a_0}$ делится на 9, то сумма его цифр делится на 9.
$a = \overline{a_n...a_2a_1a_0} = a_n * 10^n + ... + a_2 * 10^2 + a_1 * 10 + a_0 = a_n * 10...0 + ... + a_2 * 100 + a_1 * 10 + a_0 = a_n * (99...9 + 1) + ... + a_2 * (99 + 1) + a_1 * (9 + 1) + a_0 = 99...9 * a_n + a_n + ... + 99 * a_2 + a_2 + 9 * a_1 + a_1 + a_0 = 9 * (11...1 * a_n + ... + 11 * a_2 + a_1) + (a_n + ... + a_2 + a_1 + a_0)$ − так как первое слагаемое делится на 9 и сумма, равная числу a по условию делится на 9, то и второе слагаемое делится на 9.
Утверждение доказано.
 
Обратное утверждение для признака делимости на 4:
Если число $a = \overline{a_n...a_2a_1a_0}$ делится на 4, то две последние цифры образуют число $\overline{a_1a_0}$, которое делится на 4.
$a = \overline{a_n...a_2a_1a_0} = a_n * 10^n + ... + a_2 * 100 + a_1 * 10 + a_0 = 100 * (a_n * 10^{n - 2} + ... + a_2) + a_1 * 10 + a_0 = 25 * 4 * (a_n * 10^{n - 2} + ... + a_2) * \overline{a_1a_0}$ − так как первое слагаемое делится на 4, и сумма, равная числу a по условию делится на 4, то и второе слагаемое делится на 4.
Утверждение доказано.
 
Обратное утверждение для признака делимости на 5:
Если число $a = \overline{a_n...a_2a_1a_0}$ делится на 5, то оно оканчивается цифрой $a_0$, которая делится на 5.
$a = \overline{a_n...a_2a_1a_0} = a_n * 10^n + ... + a_2 * 100 + a_1 * 10 + a_0 = 10 * (a_n * 10^{n - 1} + ... + a_2 + a_1) + a_0 = 5 * 2 * (a_n * 10^{n - 1} + ... + a_2 + a_1) + a_0$ − так как первое слагаемое делится на 5, и сумма, равная числу a по условию делится на 5, то и второе слагаемое делится на 5.
Утверждение доказано.
 
Обратное утверждение для признака делимости на 10:
Если число $a = \overline{a_n...a_2a_1a_0}$ делится на 10, то оно оканчивается цифрой $a_0 = 0$.
$a = \overline{a_n...a_2a_1a_0} = a_n * 10^n + ... + a_2 * 100 + a_1 * 10 + a_0 = 10 * (a_n * 10^{n - 1} + ... + a_2 + a_1) + a_0$ − так как первое слагаемое делится на 10, и сумма, равная числу a по условию делится на 10, то и второе слагаемое делится на 10, а значит оканчивается цифрой 0.
Утверждение доказано.
 
Обратное утверждение для признака делимости на 11:
Если число $a = \overline{a_5...a_2a_1a_0}$ делится на 11, то $\overline{a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - a_5}$ делится на 11.
$a = \overline{a_5...a_2a_1a_0} = a_5 * 10^5 + ... + a_2 * 10^2 + a_1 * 10 + a_0 = a_5 * 10...0 + ... + a_2 * 100 + a_1 * 10 + a_0 = a_5 * (10001 - 1) + ... + a_2 * (99 + 1) + a_1 * (11 - 1) + a_0 = 10001 * a_5 - a_5 + ... + 99 * a_2 + a_2 + 11 * a_1 - a_1 + a_0 = 11 * 909 * a_5 + ... + 11 * 9 * a_2 + 11 * a_1 + (-a_5 + a_4 - a_3 + a_2 - a_1 + a_0) = 11 * (909 * a_5 + ... + 9 * a_2 + a_1) + (a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - a_5)$ − так как первое слагаемое делится на 11, и сумма, равная числу a по условию делится на 11, то и второе слагаемое делится на 11.
Утверждение доказано.
 
Обратное утверждение для признака делимости на 125:
Если число $a = \overline{a_n...a_3a_2a_1a_0}$ делится на 125, то $\overline{a_2a_1a_0}$ (при $a_1 ≠ 0$) делится на 125, или $a_2 = a_1 = a_0 = 0$.
$a = \overline{a_n...a_3a_2a_1a_0} = a_n * 10^n + ... + a^3 * 1000 + \overline{a_2a_1a_0} = 1000 * a_n * 10{n - 3} + ... + a_3 * 1000 + \overline{a_2a_1a_0} = 1000 * (a_n * 10^{n - 3} + ... + a_3) + \overline{a_2a_1a_0} = 125 * 8 * (a_n * 10^{n - 3} + ... + a_3) + \overline{a_2a_1a_0}$ − так как первое слагаемое делится на 125, и сумма, равная числу a по условию делится на 125, то и второе слагаемое делится на 125.
Утверждение доказано.
 
Обратное утверждение для признака делимости на 8:
Если число $a = \overline{a_n...a_3a_2a_1a_0}$ делится на 8, то $\overline{a_2a_1a_0}$ (при $a_1 ≠ 0$) делится на 8, или $a_2 = a_1 = a_0 = 0$.
$a = \overline{a_n...a_3a_2a_1a_0} = a_n * 10^n + ... + a^3 * 1000 + \overline{a_2a_1a_0} = 1000 * a_n * 10{n - 3} + ... + a_3 * 1000 + \overline{a_2a_1a_0} = 1000 * (a_n * 10^{n - 3} + ... + a_3) + \overline{a_2a_1a_0} = 8 * 125 * (a_n * 10^{n - 3} + ... + a_3) + \overline{a_2a_1a_0}$ − так как первое слагаемое делится на 8, и сумма, равная числу a по условию делится на 8, то и второе слагаемое делится на 8.
Утверждение доказано.
 
Обратное утверждение для признака делимости на 125:
Если число $a = \overline{a_n...a_2a_1a_0}$ делится на 25, то $\overline{a_1a_0}$ (при $a_1 ≠ 0$) делится на 25, или $a_1 = a_0 = 0$.
$a = \overline{a_n...a_2a_1a_0} = a_n * 10^n + ... + a_2 * 100 + \overline{a_1a_0} = 100 * a_n * 10^{n - 2} + ... + a_2 * 100 + \overline{a_1a_0} = 100 * (a_n * 10^{n - 2} + ... + a_2) + \overline{a_1a_0}$ − так как первое слагаемое делится на 25, и сумма, равная числу a по условию делится на 25, то и второе слагаемое делится на 25.
Утверждение доказано.