Признак делимости на 125: число делится на 125, если три его последние цифры являются нулями или образуют число, которое делится на 125.
Доказательство:
Число $a = \overline{a_n...a_2a_1a_0}$ делится на 125, если число $\overline{a_2a_1a_0}$ (при $a_1 ≠ 0$) делится на 125, или $a_2 = a_1 = a_0 = 0$.
Найдем разность:
$a - \overline{a_2a_1a_0} = \overline{a_n...a_2a_1a_0} - \overline{a_2a_1a_0} = \overline{a_n...a_3000} = \overline{a_n...a_3} * 1000 = 8 * 125$ − делится на 125.
Утверждение доказано.

Признак делимости на 8: число делится на 8, если три его последние цифры являются нулями или образуют число, которое делится на 125.
Доказательство:
Число $a = \overline{a_n...a_2a_1a_0}$ делится на 8, если число $\overline{a_2a_1a_0}$ (при $a_1 ≠ 0$) делится на 125, или $a_2 = a_1 = a_0 = 0$.
Найдем разность:
$a - \overline{a_2a_1a_0} = \overline{a_n...a_2a_1a_0} - \overline{a_2a_1a_0} = \overline{a_n...a_3000} = \overline{a_n...a_3} * 1000 = 125 * 8$ − делится на 8.
Утверждение доказано.