Задача Диофанта. Докажите, что произведение двух чисел, каждое из которых есть сумма двух квадратов, само представляется двумя способами в виде суммы двух квадратов:
$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (bc - ad)^2$;
$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (bc + ad)^2$.
$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (bc - ad)^2$
Преобразуем левую часть равенства:
$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = a^2c^2 + b^2c^2 + a^2d^2 + b^2d^2$
Преобразуем правую часть равенства:
$(ac + bd)^2 + (bc - ad)^2 = a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2 + b^2c^2 - 2abcd + a^2d^2 = a^2c^2 + b^2c^2 + a^2d^2 + b^2d^2$
Утверждение доказано.
$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (bc + ad)^2$
Преобразуем левую часть равенства:
$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = a^2c^2 + b^2c^2 + a^2d^2 + b^2d^2$
Преобразуем правую часть равенства:
$(ac - bd)^2 + (bc + ad)^2 = a^2c^2 - 2abcd + b^2d^2 + b^2c^2 + 2abcd + a^2d^2 = a^2c^2 + b^2c^2 + a^2d^2 + b^2d^2$
Утверждение доказано.
Пожауйста, оцените решение
