$p = n^2 - n + 41 = n^2 + (-n) + 41$
Чтобы сумма делилась на какое−то число, нужно чтобы каждое слагаемое делилось на это число. Так как число 41 простое, значит оно может делиться только на 41, значит $n^2$ и (−n) − должны делиться на 41. $n^2$ и (−n) будет делиться на 41 при n = 41, так как:
$p = 41^2 - 41 + 41 = 41(41 - 1 + 1)= 41 * 41$
Таким образом, 40 простых чисел дает эта формула при подстановке в нее последовательных натуральных чисел, начиная с 1.
 
Вычисления, начиная с 1:
при n = 1:
$p = 1^2 - 1 + 41 = 1 + 40 = 41$ − простое число.
при n = 2:
$p = 2^2 - 2 + 41 = 4 + 39 = 43$ − простое число.
при n = 3:
$p = 3^2 - 3 + 41 = 9 + 38 = 47$ − простое число.
при n = 4:
$p = 4^2 - 4 + 41 = 16 + 37 = 53$ − простое число.
при n = 5:
$p = 5^2 - 5 + 41 = 25 + 36 = 61$ − простое число.
при n = 6:
$p = 6^2 - 6 + 41 = 36 + 35 = 71$ − простое число.
при n = 7:
$p = 7^2 - 7 + 41 = 49 + 34 = 83$ − простое число.
при n = 8:
$p = 8^2 - 8 + 41 = 64 + 33 = 97$ − простое число.
при n = 9:
$p = 9^2 - 9 + 41 = 81 + 32 = 113$ − простое число.
при n = 10:
$p = 10^2 - 10 + 41 = 100 + 31 = 131$ − простое число.
при n = 11:
$p = 11^2 - 11 + 41 = 121 + 30 = 151$ − простое число.
при n = 12:
$p = 12^2 - 12 + 41 = 144 + 29 = 173$ − простое число.
при n = 13:
$p = 13^2 - 13 + 41 = 169 + 28 = 197$ − простое число.
при n = 14:
$p = 14^2 - 14 + 41 = 196 + 27 = 223$ − простое число.
при n = 15:
$p = 15^2 - 15 + 41 = 225 + 26 = 251$ − простое число.
при n = 16:
$p = 16^2 - 16 + 41 = 256 + 25 = 281$ − простое число.
при n = 17:
$p = 17^2 - 17 + 41 = 289 + 24 = 313$ − простое число.
при n = 18:
$p = 18^2 - 18 + 41 = 324 + 23 = 347$ − простое число.
при n = 19:
$p = 19^2 - 19 + 41 = 361 + 22 = 383$ − простое число.
при n = 20:
$p = 20^2 - 20 + 41 = 400 + 21 = 421$ − простое число.
при n = 21:
$p = 21^2 - 21 + 41 = 441 + 20 = 461$ − простое число.
при n = 22:
$p = 22^2 - 22 + 41 = 484 + 19 = 503$ − простое число.
при n = 23:
$p = 23^2 - 23 + 41 = 529 + 18 = 547$ − простое число.
при n = 24:
$p = 24^2 - 24 + 41 = 576 + 17 = 593$ − простое число.
при n = 25:
$p = 25^2 - 25 + 41 = 625 + 16 = 641$ − простое число.
при n = 26:
$p = 26^2 - 26 + 41 = 676 + 15 = 691$ − простое число.
при n = 27:
$p = 27^2 - 27 + 41 = 729 + 14 = 743$ − простое число.
при n = 28:
$p = 28^2 - 28 + 41 = 784 + 13 = 797$ − простое число.
при n = 29:
$p = 29^2 - 29 + 41 = 841 + 12 = 853$ − простое число.
при n = 30:
$p = 30^2 - 30 + 41 = 900 + 11 = 911$ − простое число.
при n = 31:
$p = 31^2 - 31 + 41 = 961 + 10 = 971$ − простое число.
при n = 32:
$p = 32^2 - 32 + 41 = 1024 + 9 = 1033$ − простое число.
при n = 33:
$p = 33^2 - 33 + 41 = 1089 + 8 = 1097$ − простое число.
при n = 34:
$p = 34^2 - 34 + 41 = 1156 + 7 = 1163$ − простое число.
при n = 35:
$p = 35^2 - 35 + 41 = 1225 + 6 = 1231$ − простое число.
при n = 36:
$p = 36^2 - 36 + 41 = 1296 + 5 = 1301$ − простое число.
при n = 37:
$p = 37^2 - 37 + 41 = 1369 + 4 = 1373$ − простое число.
при n = 38:
$p = 38^2 - 38 + 41 = 1444 + 3 = 1447$ − простое число.
при n = 39:
$p = 39^2 - 39 + 41 = 1521 + 2 = 1523$ − простое число.
при n = 40:
$p = 40^2 - 40 + 41 = 1600 + 1 = 1601$ − простое число.
при n = 41:
$p = 41^2 - 41 + 41 = 1681 + 0 = 1681$ − составное число.